Heat Equation
熱は、なぜ広がる一方なのか
熱いところは冷め、冷たいところは温まり、やがて全体が同じ温度になります。逆は決して起きません。ところがこの式の右辺は、行ったり来たりを繰り返す波動方程式とまったく同じものです。分かれ道は、左辺のたった1か所にあります。
グラフの上をドラッグすると、注目する点を動かせます。棒のどこがいま何℃で、次にどちらへ動くのかが分かります。
両辺を同じ色にしてあります。等しいからです。左は「その点の温度が、いまどれだけの速さで変わるか」、右は「その点が、まわりの平均からどれだけズレているか」。この2つは同じものだ、というのが熱伝導方程式の主張です。
- 注目点の位置 x
- —
- 温度 u
- —
- まわりの平均 − u
- —
- 変化率 ∂u/∂t
- —
- 経過時間
- —
下の帯が、棒そのものの色です。濃い金色ほど熱く、淡いほど冷たい状態を表しています。注目点から左右に伸びる破線は「両隣を結んだ線」で、そこから縦に伸びる矢印が「平均からのズレ」＝そのまま温度の変化率になります。見やすさのため、両隣は少し離してとってあります。熱は必ず平衡に達して止まるので、動きが完全に止まったら自動で最初からやり直します。
出てくる量は、2つだけです
温度 u
その点がいま何℃か。曲線の高さと、下の帯の色の濃さが、どちらも同じ温度を表しています。
変化率 ∂u/∂t ＝ α∂²u/∂x²
その点が次にどちらへ動くか。まわりより冷たければ温まり、熱ければ冷めます。矢印は1種類しかありません。左辺と右辺が同じものだからです。
波動方程式には「変位・速度・加速度」の3つが必要でしたが、こちらは2つで足ります。時間について1階しかない式は、それだけ単純です。
波動方程式との違いは、1か所だけ
2つの式を並べてみます。右辺は、係数の名前が違うだけでまったく同じものです。どちらも「まわりの平均からのズレ」を意味しています。
| 波動方程式 | ∂²u/∂t²（加速度） |
= c²·∂²u/∂x² |
|---|---|---|
| 熱伝導方程式 | ∂u/∂t（速度） |
= α·∂²u/∂x² |
違うのは左辺の階数だけです。そして、これが結果のすべてを分けます。
ズレが「加速度」になると、行き過ぎます。平らな位置に戻ってきたときには勢いがついているので、そのまま反対側へ通り過ぎてしまう。だから波は振動し、いつまでも止まりません。
ズレが「速度」になると、行き過ぎません。平らになった瞬間にズレがゼロになり、速度もゼロになって、そこで止まる。だから熱はひたすら均されていきます。
とがったところほど、速く消える
シミュレーションで「こまかいギザギザ」を選ぶと、ギザギザは一瞬で消え、そのあとゆるやかな山だけがゆっくり残ります。細かい凸凹ほど早く消えるというのが、熱伝導方程式のいちばんの特徴です。
理由は右辺にあります。∂²u/∂x² は「まわりとのズレ」ですから、同じ高さの山でも、幅が狭いほどズレは大きくなります。細かい模様は、それだけ強い力で均されるわけです。
きちんと計算すると、k倍こまかい模様は k² 倍の速さで消えます。2倍こまかければ4倍、3倍こまかければ9倍。だから、どんなにギザギザな初期状態から始めても、しばらく経つと決まってなめらかな形になります。
逆再生できない式
波動方程式の動画は、逆再生しても物理的におかしくありません。時間を反転させても同じ式が成り立つからです。熱伝導方程式は、そうはいきません。冷めたコーヒーが勝手に熱くなる映像は、誰が見てもおかしい。この非対称性が、式そのものに書き込まれています。
シミュレーションの2本のバーが、それを示しています。
上の「総熱量」は変わりません。断熱を選んでいるかぎり、熱は棒の中を移動するだけで、生まれも消えもしません。連続の式が質量について言っていたことと、まったく同じ構造です。
下の「温度差」は減る一方です。棒のいちばん熱い所と、いちばん冷たい所の差。これが増えることは決してありません（数学では最大値原理と呼ばれます）。同じ熱を持ったまま、偏りだけが失われていく — これが「熱力学第二法則」と呼ばれているものの、いちばん素朴な姿です。
ちなみに端を「両端を冷やす」に変えると、総熱量そのものが減っていきます。熱が棒の外へ逃げているからで、この場合は最後に全体が0℃になります。「左端を加熱・右端を冷却」にすると、まっすぐな斜めの直線で止まります。両端の温度が固定されているので温度差は縮みませんが、それ以上ならしようのない形にはたどり着いた、という状態です。
| 連続の式 | 波動方程式 | 熱伝導方程式 | |
|---|---|---|---|
| 式 | ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 | ∂²u/∂t² = c²∇²u | ∂u/∂t = α∇²u |
| 主役 | 密度 ρ | 変位 u | 温度 u |
| 時間の階数 | 1階 | 2階 | 1階 |
| ズレの行き先 | 出入りの差 | 加速度になる | 速度になる |
| ふるまい | そのまま流れる | 行き過ぎて戻る（振動） | 均されて止まる（拡散） |
| 保存するもの | 質量 | エネルギー | 総熱量（断熱のとき） |
| 逆再生 | できる | できる | できない |
同じ「∇²u」という部品が、置かれる場所によって流れにも振動にも拡散にもなります。偏微分方程式を読むときに、まず時間の階数を見るとよい、と言われるのはこのためです。
「動かせる教材」を、つくります
このページは、式を1行ずつ言葉に直しながら、その場で動かして確かめられるように作った教材です。同じやり方で、御社の設備・製品・業務のしくみも「動かせる説明」に変えられます。
社内教育、展示会のデモ、採用説明会の資料など。お問い合わせからお気軽にご相談ください。